МАТЕМАТИКА: ВІДКРИТТЯ ВПРОДОВЖ СТОЛІТЬ
 Лінійним рівнянням із двома змінними називають рівняння виду ах+by=c, де х та у - змінні, a, b, c - деякі числа (коефіцієнти рівняння).
Розв'язками рівняння х + у = 8 є й такі пари чисел: х=4, у=4; х=4,5, у=3,5; х=10, у=-2.
Скорочено ці розв'язки записують так: (4, 4); (4,5, 3,5); (10, -2). У цих записах на першомі місці пишуть значення змінної х, а на другому - значення змінної у. Це пов'язано з тим, що змінну х умовно вважають першою змінною, а змінну у - другою.
Щоб знайти розв'язок рівняння із двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї змінної і, розв'язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної. Для прикладу знайдемо кілька розв'язків рівняння х + у = 8.
Нехай х=7, тоді 7 + у = 8, звідки у = 8 - 7, у=1. Нехай х=-3, тоді -3 + у = 8, звідки у = 8 + 3, у=11.
Ми знайшли два розв'язки (7, 1); (-3, 11). Надаючи змінній х інших значень, одержимо інші розв'язки рівняння. Рівняння х + у = 8 має безліч розв'язків.Шукати розв'язки рівнянь із двома змінними можна іншим способом, який обумовлюється властивостями рівнянь.

Властивості рівнянь із двома змінними

Властивості рівнянь із двома змінними такі ж, як і рівнянь з однією змінною, а саме:

• 1. У будь-якій частині рівняння можна виконати тотожні перетворення виразів (розкрити дужки, звести подібні доданки)
• 2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в ішну, змінивши його знак на пртилежний.
• 3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число.

Розглянемо рівняння 3х + 2у = 9.
Використовуючи властивості рівнянь, виразимо з цього рівняння одну змінну через іншу, наприклад, у через х. Для цього перенесемо доданок 3х у праву частину, змінивши його знак на протилжений: 2у = -3х + 9.
Поділимо обидві частини одержаного рівняння на 2: у = -1,5х + 4,5.
Користуючись формулою у = -1,5х + 4,5, можна знайти скільки завгодно розв'язків даного рівняння. Для цього досить узяти довільне значення х і обчислити відповідне значення у. Пари деяких відповідних значень х та у подамо у вигляді таблиці.

х	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
у = -1,5х + 4,5	10,5	9	7,5	6	4,5	3	1,5	0	-1,5

Пари чисел кожного стовпчика - розв'язки рівняння 3х + 2у = 9.

                                      Діофантові рівняння

 Діофантові рівняння —  рівняння з цілими коефіцієнтами в яких невідомі змінні можуть приймати тільки цілі значення. Названі на честь давньогрецького математика Діофанта александрійського.

 

Розв’язати діофантове рівняння означає:

a)     з’ясувати, чи має рівняння хоча б один ненульовий розв’язок в цілих числах;

b)    якщо рівняння має розв’язок в цілих числах, то з’ясувати скінченна чи нескінченна множина його розв’язків;

c)     знайти всі цілі розв’язки рівняння.

Лінійні діофантові рівняння виду навчились розв’язувати ще до Діофанта.

                                Вислови про математику